ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Zweitafelprojektion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Zweitafelprojektion</h1>

</header>

</div>

Die Zweitafelprojektion ist eine grundlegende Methode der <a href="Darstellende_Geometrie" title="Darstellende Geometrie">Darstellenden Geometrie</a>. Dabei wird ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> des <a href="Anschauungsraum" class="mw-redirect" title="Anschauungsraum">Anschauungsraums</a> mit Hilfe zweier <a href="Parallelprojektion" title="Parallelprojektion">Parallelprojektionen</a> senkrecht auf zwei zueinander senkrechte Ebenen (Bildtafel) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/174109529c6dfc45681f2b56dda04ab170675ca9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.792ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}" loading="lazy"> projiziert. Üblicherweise ist die Ebene

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/542cbd3dacd0a061d666ed7fc4ed7ad15b47444b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.379ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{1}}" loading="lazy"> horizontal und heißt Grundrisstafel und

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b4d39c450ad33d7c407aec6fff9f225463ac1f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.379ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{2}}" loading="lazy"> vertikal, die Aufrisstafel.

Die Schnittgerade

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{12}=\pi _{1}\cap \pi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a835ff39257b9bfe1984716f1ae6aca2f8d7965.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.527ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{12}=\pi _{1}\cap \pi _{2}}" loading="lazy"> heißt Risskante.

Die entstehenden

Bilder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P',P''}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P',P''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f24ef76aa018a5581d0d6133db0cdc75c5cf4b17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.499ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P',P''}" loading="lazy"> sind Grundriss bzw. Aufriss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">.

In ihnen sind alle räumlichen Informationen des Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> enthalten. Legt man die beiden Tafeln je in eine Koordinatenebene eines x-y-z-Koordinatensystems, so fallen die Informationen als Koordinatenwerte x, y und z an.

Die Erweiterung der Zweitafelprojektion um eine weitere Darstellungsebene führt zur <a href="Dreitafelprojektion" class="mw-redirect" title="Dreitafelprojektion">Dreitafelprojektion</a>. Diese wird angewendet, wenn mehrere bis viele viele Punkte, die i. d. R. eine Ebene oder einen Körper kennzeichnen, abzubilden sind. Die Abbildung wird dadurch übersichtlicher

Solche Risse waren schon den Griechen und Römern bekannt. Allerdings erst eine Idee von <a href="Gaspard_Monge" title="Gaspard Monge">Gaspard Monge</a><a href="#cite_note-1">[1]</a> machte es möglich, die wesentlichen raumgeometrischen Probleme der darstellenden Geometrie relativ einfach zeichnerisch zu lösen. Monge klappte die Aufrisstafel um die Risskante in die Grundrisstafel und benutzte die Grundrisstafel als Zeichenebene. Die zunächst räumliche Zuordnung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef4efa52c8f47f06136f6ebfd1d68c1249aaca39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.506ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P'}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c81a34959517ad0d44424254b097a8e8c186fc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.959ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P''}" loading="lazy"> geht dabei in die Zuordnung in der Zeichenebene durch einen Ordner (Lot zur Risskante) über. Man sagt, Grundriss und Aufriss

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P',P''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f24ef76aa018a5581d0d6133db0cdc75c5cf4b17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.499ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P',P''}" loading="lazy"> sind in der Zeichenebene über den zugehörigen Ordner einander zugeordnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grund-_und_Aufrisse_verschiedener_Punkte">Grund- und Aufrisse verschiedener Punkte</h2></div>

Da die Anschaulichkeit der Lage von Punkten in der Zweitafelprojektion deutlich geringer ist als in einem räumlich wirkenden Bild (Axonometrie), bedarf es einiger Übung, um sich die räumliche Lage eines konkreten Punktes anhand seines <a href="Grundriss" title="Grundriss">Grund-</a> und <a href="Aufriss" title="Aufriss">Aufrisses</a> vorzustellen. Normalerweise erwartet man, dass sich bei einer Zweitafelprojektion der Grundriss eines Punktes unterhalb und der Aufriss eines Punktes oberhalb der Risskante befindet. Wie Beispiele in dem Bild zeigen, muss das nicht der Fall sein. Allerdings ist man immer bemüht, Grund- und Aufriss eines Objektes in der Zweitafelprojektion optisch zu trennen (Grundriss „unten“, Aufriss „oben“).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geraden">Geraden</h2></div>

Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. Also sind ihr Grund- und Aufriss durch die Grund- und Aufrisse zweier Punkte bestimmt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Höhenlinien,_Frontlinien">Höhenlinien, Frontlinien</h3></div>

Es gibt mehrere Sonderlagen von Geraden, die besondere Bezeichnungen erhalten (siehe die Abbildung):

<ul><li>Eine Höhenlinie ist eine Gerade, die parallel zur Grundrisstafel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/542cbd3dacd0a061d666ed7fc4ed7ad15b47444b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.379ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{1}}" loading="lazy"> verläuft.</li>

<li>Eine Frontlinie ist eine Gerade, die parallel zur Aufrisstafel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b4d39c450ad33d7c407aec6fff9f225463ac1f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.379ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{2}}" loading="lazy"> verläuft.</li>

<li>Eine Hauptgerade ist eine Höhen- oder Frontlinie.</li>

<li>Eine Erstprojizierende ist eine Lotgerade zur Grundrisstafel und damit ein Projektionsstrahl für den Grundriss.</li>

<li>Eine Zweitprojizierende ist eine Lotgerade zur Aufrisstafel und damit ein Projektionsstrahl für den Aufriss.</li>

<li>Eine gelehnte Gerade ist in einer zur Risskante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{12}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{12}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a88176fbc20f6f397605e80685926e9210677da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{12}}" loading="lazy"> senkrechten Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4a078131a0c973b388cf10c0ac6d7598fe21578.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.379ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{3}}" loading="lazy"> enthalten. Gelehnte Geraden sind bei Konstruktionen sehr unangenehm, da sowohl Grund- und Aufriss auf den einzigen Ordner fallen (siehe die Abbildung).</li></ul>

Sowohl Höhen- als auch Frontlinien spielen bei der Bestimmung von <a href="Wahre_L%C3%A4nge_(darstellende_Geometrie)" title="Wahre Länge (darstellende Geometrie)">wahren Längen</a> eine besondere Rolle, denn

<ul><li>eine Strecke auf einer Höhenlinie erscheint im Grundriss in wahrer Länge.</li>

<li>eine Strecke auf einer Frontlinie erscheint im Aufriss in wahrer Länge.</li></ul>

Hauptlinien spielen auch bei rechten Winkeln eine wichtige Rolle, denn

<ul><li>Ein rechter Winkel erscheint im Grundriss (Aufriss) wieder als rechter Winkel, wenn ein Schenkel auf einer Höhenlinie (Frontline) liegt.</li></ul>

Beliebige Winkel erscheinen im Grundriss (Aufriss) in wahrer Größe, wenn beide Schenkel parallel zur Grundrisstafel (Aufrisstafel) liegen. Tafelparallelität kann man entweder durch eine Drehung der Ebene, in der der Winkel liegt, um eine Höhenlinie (Frontlinie) oder durch zwei Umprojektionen (siehe <a href="Wahre_Gestalt" title="Wahre Gestalt">wahre Gestalt</a>) erreichen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spurpunkte">Spurpunkte</h3></div>

Bei Konstruktionen werden oft die <a href="Spurpunkt" title="Spurpunkt">Spurpunkte</a> einer Gerade benutzt. Sie sind die Durchstoßpunkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{1},S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1},S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05289e5891f97d54bdc946771362aedd6bb76917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.992ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{1},S_{2}}" loading="lazy"> der Gerade mit den Risstafeln. Es gilt immer

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1}=S_{1}'\;,\quad S_{2}=S_{2}''\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9adf051a5cd9393fc57556a40eff157d8d8c10a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.617ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{1}=S_{1}'\;,\quad S_{2}=S_{2}''\quad }" loading="lazy"> und</li></ul>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1}''\;,\quad S_{2}'\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51116467e8ccf7daabfecd4fc0a6042085b717a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{1}''\;,\quad S_{2}'\quad }" loading="lazy"> liegen auf der Risskante (siehe Bild).</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ebenen">Ebenen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beschreibung_einer_Ebene,_Spurgeraden">Beschreibung einer Ebene, Spurgeraden</h3></div>

Eine Ebene wird in der darstellenden Geometrie in der Regel durch ein Dreieck oder zwei sich schneidende Geraden in Grund- und Aufriss beschrieben. Im zweiten Fall wählt man hierfür möglichst Hauptgeraden (Höhenlinien, Frontlinien) oder <a href="Spurgerade" title="Spurgerade">Spurgeraden</a> (Schnittgeraden der Ebene mit den Risstafeln, siehe Bild). Auch hier bedarf es einiger Übung, um sich aus den gegebenen Grund- und Aufrissen die Lage der Ebene im Raum vorstellen zu können (siehe Bild).

Für Spurgeraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{1},s_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1},s_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c98c4aa53d48ad3c97bd032d8e72691313513353.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.323ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{1},s_{2}}" loading="lazy"> einer Ebene gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1}=s_{1}',s_{2}=s_{2}''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/657e2759057d46ad762c94692338b3077d5857be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.893ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s_{1}=s_{1}',s_{2}=s_{2}''}" loading="lazy"> und</li></ul>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1}'',s_{2}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3768c24657fba55ac2875909d2fe3697cde6dd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s_{1}'',s_{2}'}" loading="lazy"> fallen mit der Risskante zusammen und werden meistens weggelassen (siehe Bild).</dd></dl>

Bei Konstruktionen mit Ebenen sind oft folgende Eigenschaften nützlich:

<ul><li>Die Frontlinien einer Ebene sind alle zueinander parallel, insbesondere zur Aufrissspur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4b9a7acc0ae8f54da4b7f4eef2c777d44faecd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.145ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{2}}" loading="lazy"> (siehe Bild).</li>

<li>Die Höhenlinien einer Ebene sind alle zueinander parallel, insbesondere zur Grundrissspur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb8baad278d51283e0ef3c99898d583cf2c8a8fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.145ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{1}}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lot_auf_eine_Ebene,_Abstand_Punkt-Ebene">Lot auf eine Ebene, Abstand Punkt-Ebene</h3></div>

Da der Riss (senkrechte Parallelprojektion) eines rechten Winkels nur dann wieder ein rechter Winkel ist, wenn ein Schenkel parallel zur Bildtafel ist (siehe Abschnitt über Geraden), gilt (siehe Bild)

<ul><li>Der Grundriss eines Lotes auf eine Ebene ist senkrecht zu einer beliebigen Höhenlinie der Ebene.</li>

<li>Der Aufriss eines Lotes auf eine Ebene ist senkrecht zu einer beliebigen Frontlinie der Ebene.</li></ul>

Will man den Abstand eines Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> von einer Ebene bestimmen, so muss man das Lot zur Ebene durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> mit der Ebene schneiden (siehe: <a href="Schnittpunkt_(Darstellende_Geometrie)#Schnittpunkt_einer_Gerade_mit_einer_Ebene" title="Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)">Durchstoßpunktkonstruktion</a>). Der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">. Die <a href="Wahre_L%C3%A4nge_(darstellende_Geometrie)" title="Wahre Länge (darstellende Geometrie)">wahre Länge</a> der Strecke (Lot) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {QF}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {QF}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dafc112013e2efdc576465129db58bd6b3f0ab08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.854ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {QF}}}" loading="lazy"> ist schließlich der gesuchte Abstand des Punktes von der Ebene.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lotebene,_Lot_auf_eine_Gerade,_Abstand_Punkt-Gerade">Lotebene, Lot auf eine Gerade, Abstand Punkt-Gerade</h3></div>

Will man das Lot von einem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> aus auf eine Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> (im Raum) fällen, so verwendet man die Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy">, die senkrecht zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> ist, als Hilfsebene. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> ist eine Lotebene von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy">. Es gilt

<ul><li>Der Grundriss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}'}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e2a673886427acdc751fbe373d77bdc1f801d58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.393ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{1}'}" loading="lazy"> der Höhenlinie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14e8880a2e4243a2fe5157e574a0547ef3d5d373.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.393ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> ist senkrecht zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7a53c0df5d85b36e3fd327c74db998f679f4f55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.803ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g'}" loading="lazy">.</li></ul>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d1e8e6a60530ae90e174611029fa616ddd74937.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{1}''}" loading="lazy"> ist parallel zur Risskante !)</dd></dl>

<ul><li>Der Aufriss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{2}''}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{2}''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2a21fe7dc132e1bb33bb4105759a644bce91adf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{2}''}" loading="lazy"> der Frontlinie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56d2d1733d09f02f33694f72b6da94681021e0f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.393ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{2}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> ist senkrecht zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3dfc83d8cd4f3bd6d53a50298d1866f332ea209e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.255ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g''}" loading="lazy">.</li></ul>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{2}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcf4cbfed3684613bd04c145c1c992b74961abe4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.393ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{2}'}" loading="lazy"> ist parallel zur Risskante !)</dd></dl>

Damit liegt die Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> durch die Höhen- und Frontlinie im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> fest.

Mit Hilfe der <a href="Schnittpunkt_(Darstellende_Geometrie)#Schnittpunkt_einer_Gerade_mit_einer_Ebene" title="Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)">Durchstoßpunktkonstruktion</a> lässt sich dann der Lotfußpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=g\cap \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=g\cap \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/482d27a1051d6dd41d717d6d41ea4b04545e48cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.621ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F=g\cap \varepsilon }" loading="lazy"> bestimmen. Der Abstand des Punktes Q von der Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> ist die wahre Länge der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {QF}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {QF}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dafc112013e2efdc576465129db58bd6b3f0ab08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.854ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {QF}}}" loading="lazy">. Wie man eine wahre Länge bestimmt findet man <a href="Wahre_L%C3%A4nge_(darstellende_Geometrie)" title="Wahre Länge (darstellende Geometrie)">hier</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umprojektion,_Dreitafelprojektion">Umprojektion, Dreitafelprojektion</h2></div>

In der darstellenden Geometrie gibt es zwei Grundaufgaben, die durch Einführung eines neuen Risses gelöst werden können. Dies sei am Beispiel des Rhombendodekaeders (s. u.) erläutert. Der Rhombendodekaeder ist durch zugeordnete Risse (Grund- und Aufriss) gegeben. Gesucht ist 1) ein anschaulicher Riss (Orthogonalprojektion) und 2) die <a href="Wahre_Gestalt" title="Wahre Gestalt">wahre Gestalt</a> eines der 12 Rhomben.

Zunächst wird erklärt wie man einen neuen Riss eines in Grund- und Aufriss gegebenen Punktes konstruiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einführung_eines_neuen_Aufrisses">Einführung eines neuen Aufrisses</h3></div>

Gegeben: Ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> in Grund- und Aufriss (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P',P''}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P',P''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f24ef76aa018a5581d0d6133db0cdc75c5cf4b17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.499ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P',P''}" loading="lazy">, Risskante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{12}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{12}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a88176fbc20f6f397605e80685926e9210677da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{12}}" loading="lazy">) und eine neue Aufrisstafel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4a078131a0c973b388cf10c0ac6d7598fe21578.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.379ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{3}}" loading="lazy"> durch die Risskante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{13}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{13}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368667975c31657e17343f37e93aca1b63faccc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{13}}" loading="lazy">.

Gesucht: Der neue Aufriss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ce32fb61f8ba876e4b8516ea4a1d1bcbc573051.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.411ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P'''}" loading="lazy">.

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef4efa52c8f47f06136f6ebfd1d68c1249aaca39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.506ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P'}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ce32fb61f8ba876e4b8516ea4a1d1bcbc573051.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.411ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P'''}" loading="lazy"> sind also über einen Ordner (Lot zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{13}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{13}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368667975c31657e17343f37e93aca1b63faccc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{13}}" loading="lazy">) einander zugeordnet. (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'',P'''}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'',P'''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37a624e332c43e8ff1a5651f6673b426f61ff0b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.404ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P'',P'''}" loading="lazy"> sind nicht einander zugeordnet !)

Aus dem Bild ist zu erkennen

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ce32fb61f8ba876e4b8516ea4a1d1bcbc573051.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.411ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P'''}" loading="lazy"> liegt auf dem Ordner (Lot zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{13}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{13}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368667975c31657e17343f37e93aca1b63faccc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{13}}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef4efa52c8f47f06136f6ebfd1d68c1249aaca39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.506ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P'}" loading="lazy">) im gleichen Abstand von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{13}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{13}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368667975c31657e17343f37e93aca1b63faccc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{13}}" loading="lazy"> wie der alte Aufriss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c81a34959517ad0d44424254b097a8e8c186fc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.959ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P''}" loading="lazy"> von der alten Risskante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{12}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{12}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a88176fbc20f6f397605e80685926e9210677da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{12}}" loading="lazy"> (siehe Bild).</li></ul>

Beispiel Rhombendodekaeder:

In dem hier gezeigten Beispiel ist ein <a href="Rhombendodekaeder" title="Rhombendodekaeder">Rhombendodekaeder</a> in Grund- und Aufriss gegeben.

<dl><dt>1) anschaulicher Aufriss</dt></dl>

Beide gegebenen Risse sind zwar leicht zu zeichnen, sie sind aber unanschaulich, da viele Punktepaare im Aufriss bzw. Grundriss zusammenfallen. Durch Einführen der neuen Risskante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{13}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{13}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368667975c31657e17343f37e93aca1b63faccc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{13}}" loading="lazy"> wird ein weiterer Aufriss definiert. (Die neue Risskante kann fast beliebig gewählt werden. Sie sollte nur nicht parallel und nicht senkrecht zu dem Grundriss einer der Polyederkanten sein.) In dem neuen Riss liegen keine Punkte mehr hintereinander. Dadurch sind die einzelnen Rhomben und ihre Lage im Raum besser zu erkennen. (Beim Erstellen des neuen Aufrisses lässt sich ausnutzen, dass jedes der 3 Vierecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{B,C,D,E\},\{F,G,H,I\},\{J,K,L,M\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{B,C,D,E\},\{F,G,H,I\},\{J,K,L,M\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c90e04bddbf79aa6c1a7365be8c69d883b92afa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{B,C,D,E\},\{F,G,H,I\},\{J,K,L,M\}}" loading="lazy"> auf gleicher Höhe liegt und damit auch den gleichen Abstand zur neuen Risskante hat.)

<dl><dt>2) wahre Gestalt eines Rhombus</dt></dl>

Offensichtlich liegt der Rhombus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle FKGC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle FKGC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/296450d63604dceb782a014cd397b4a48fdb71de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.4ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle FKGC}" loading="lazy"> in einer senkrechten Ebene. Führt man eine neue Aufrissebene so ein, dass sie parallel zu dem Rhombus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle FKGC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle FKGC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/296450d63604dceb782a014cd397b4a48fdb71de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.4ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle FKGC}" loading="lazy"> ist, so muss der Rhombus im neuen Riss in wahrer Gestalt erscheinen. Also wählt man eine neue Risskante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{14}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{14}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2e9a4ff0325fc4f4ee224657bdba3ee595d05fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{14}}" loading="lazy"> parallel zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'G'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'G'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40ac579f28769af1f39ab65323436ef140bf501b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.011ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F'G'}" loading="lazy"> und konstruiert den neuen Aufriss der vier Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle FKGC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle FKGC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/296450d63604dceb782a014cd397b4a48fdb71de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.4ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle FKGC}" loading="lazy">. Der Rhombus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F''''K''''G''''C''''}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F''''K''''G''''C''''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a5511877fd4dfafed5f830864fda8df348081e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.702ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F''''K''''G''''C''''}" loading="lazy"> hat die wahre Gestalt der Rhomben.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreuzriss,_Dreitafelprojektion">Kreuzriss, Dreitafelprojektion</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Dreitafelprojektion" class="mw-redirect" title="Dreitafelprojektion">Dreitafelprojektion</a></div>

Ist die neue Risstafel zur Grundrisstafel und zur Aufrisstafel senkrecht, d. h.

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{23}\perp k_{12}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc094caa627db27b316d12cf99aaf1fae90be33b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.273ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{23}\perp k_{12}}" loading="lazy">, nennt man den neuen Aufriss Kreuzriss (s. Bild) und ordnet ihn direkt dem bestehenden Aufriss zu. Eine Zuordnung des neuen Risses zum Grundriss erhält man durch konzentrische Kreisbögen als Ordner (siehe Bild). Damit kann man jetzt Informationen aus irgendeinem Riss über die entsprechenden Ordner in die anderen beiden Risse übertragen. Solch eine Anordnung nennt man Dreitafelprojektion.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Eintafelprojektion" title="Eintafelprojektion">Eintafelprojektion</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 10.</li>

<li>Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 40.</li>

<li>Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 59.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/dga-incl-loes.pdf">Darstellende Geometrie für Architekten</a> (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 23–34.</li>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130810144627/http://material.htlwien10.at/wissensspeicher/Darstellende_Geometrie_und_geometrisches_Zeichnen/Projektionsarten-Axonometrie-3D.pdf">Grundlagen und Elemente der Verkehrsmaschinentechnik</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 10. August 2013 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) (PDF; 493 kB) TU Dresden</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> siehe <a rel="nofollow" class="external text" href="https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABN3249">Geometrie descriptive</a>. S. 10

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2026-01-05" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Zweitafelprojektion&oldid=263044687">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>